Kelly-Kriterium: Wie viel setzen für maximales Wachstum?
Das Kelly-Kriterium beantwortet eine scheinbar einfache Frage: Welchen Anteil seines Vermögens sollte man auf eine Wette oder eine riskante Anlage setzen, damit das Vermögen auf lange Sicht am schnellsten wächst? Die Antwort von John L. Kelly (1956) maximiert das geometrische Wachstum, setzt aber oft weit mehr ein, als Anleger aushalten. In der Praxis nutzen viele deshalb einen Bruchteil davon.
Die Idee: Wachstum statt Erwartungswert
Eine Wette mit positivem Erwartungswert lädt dazu ein, möglichst viel zu setzen. Doch wer immer sein ganzes Vermögen einsetzt, ist beim ersten Verlust pleite, auch wenn jede einzelne Wette im Durchschnitt Gewinn bringt. Bei wiederholten Einsätzen zählt nicht der Durchschnitt der Ergebnisse, sondern ihr Produkt: Das Vermögen nach vielen Runden ist Startkapital mal (1 + Rendite₁) mal (1 + Rendite₂) und so weiter. Das langfristige Wachstum bestimmt deshalb der Erwartungswert des Logarithmus, nicht der Rendite.
Kelly hat diesen Gedanken als Ingenieur der Bell Labs im Zusammenhang mit Informationsübertragung entwickelt: Kelly (1956) zeigte, dass die höchste exponentielle Wachstumsrate des Kapitals eines Spielers mit Vorwissen genau der Übertragungsrate des Informationskanals entspricht. Den Weg an die Börse ebneten später vor allem Edward Thorp und andere (Thorp 2006).
Die Formel für eine einfache Wette
f* = p − q / b
Wachstum je Runde: g(f) = p × ln(1 + b × f) + q × ln(1 − f)- f*
- optimaler Anteil des Vermögens als Einsatz
- p
- Gewinnwahrscheinlichkeit
- q = 1 − p
- Verlustwahrscheinlichkeit
- b
- Nettoquote: Gewinn je eingesetztem Euro
g(f) = 0,6 × ln(1 + f) + 0,4 × ln(1 − f) aus dem Beispiel oben. Um den Kelly-Einsatz von 20 % ist die Kurve flach, rechts davon fällt sie steil ab: Beim doppelten Einsatz ist das Wachstum negativ.
Zwei Eigenschaften fallen auf. Erstens ist die Wachstumskurve um f* herum flach: Der halbe Kelly-Einsatz bringt mit 1,50 % noch rund 75 % des maximalen Wachstums, aber mit deutlich weniger Schwankung. Zweitens fällt sie jenseits von f* steil ab: Beim doppelten Kelly-Einsatz ist das Wachstum ungefähr null oder negativ. Zu viel setzen ist gefährlicher als zu wenig.
Münzwurf aus dem Beispiel oben (60 % Gewinnchance, Quote 1:1). Typisch heißt: so viele Gewinne und Verluste wie erwartet, also 1,2⁶⁰ × 0,8⁴⁰ ≈ 7,49. Beim doppelten Einsatz ergibt 1,4⁶⁰ × 0,6⁴⁰ ≈ 0,78: Das Vermögen schrumpft trotz positiven Erwartungswerts. Eine Münze entspricht dem Startvermögen.
Kelly für Aktien und Portfolios
Für Anlagen mit vielen möglichen Ergebnissen gibt es eine Näherung in stetiger Zeit. Sie folgt aus demselben Ziel, dem erwarteten Logarithmus des Vermögens, und deckt sich mit der optimalen Aktienquote von Merton (1969) für einen Anleger mit logarithmischem Nutzen:
f* = (μ − r) / σ²
Wachstum über dem Zins: g(f) − r = f × (μ − r) − f² × σ² / 2- μ − r
- erwartete Überrendite der Anlage über dem sicheren Zins
- σ
- Volatilität der Anlage
- f
- Anteil der riskanten Anlage, über 100 % = Hebel
g(f) − r = f × (μ − r) − f² × 0,18² / 2 aus dem Beispiel oben. Ist die wahre Prämie 3 % statt 5 %, liegt der volle Kelly-Anteil von 154 % weit rechts vom Optimum: 0,77 % statt 1,39 % p. a.
Setzt man f* in die Wachstumsformel ein, ergibt sich ein eleganter Zusammenhang mit der Sharpe Ratio: Das maximal erreichbare Zusatzwachstum ist die halbe quadrierte Sharpe Ratio der Anlage. Im Beispiel ist die Sharpe Ratio 0,05 / 0,18 = 0,28, und 0,28² / 2 ergibt die 3,86 % von oben. Eine Anlage mit doppelter Sharpe Ratio erlaubt also das vierfache Zusatzwachstum, vorausgesetzt, man hebelt sie entsprechend.
maximales Zusatzwachstum: g(f*) − r = (μ − r)² / (2σ²) = SR² / 2- SR
- Sharpe Ratio der riskanten Anlage
Für mehrere Anlagen verallgemeinert sich die Formel zu f* = Σ⁻¹(μ − r): Das Kelly-Portfolio ist das Tangentialportfolio der Mittelwert-Varianz-Theorie, gehebelt auf ein bestimmtes Risiko. Es erbt damit alle Probleme der Optimierung mit geschätzten Renditen.
Für Fortgeschrittene: Drawdowns und Bruchteil-Kelly
Der volle Kelly-Einsatz maximiert das Wachstum, nimmt dafür aber sehr tiefe Zwischenverluste in Kauf. In der stetigen Näherung (ohne Zins) lässt sich die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Vermögen irgendwann auf einen Bruchteil x seines aktuellen Werts fällt. Setzt man den Anteil c des Kelly-Einsatzes ein, gilt:
P(Vermögen fällt irgendwann auf x × heute) = x^(2/c − 1)- c
- Bruchteil des Kelly-Einsatzes (1 = voller Kelly, 0,5 = halber)
- x
- Schwelle als Anteil des heutigen Vermögens
| Einsatz | Halbierung irgendwann | Fall auf 20 % |
|---|---|---|
| voller Kelly (c = 1) | 50 % | 20 % |
| halber Kelly (c = 0,5) | 12,5 % | 0,8 % |
| viertel Kelly (c = 0,25) | 0,78 % | 0,001 % |
Beim vollen Kelly-Einsatz halbiert sich das Vermögen also mit 50 % Wahrscheinlichkeit irgendwann. Für die meisten Anleger ist das untragbar. Der halbe Einsatz senkt diese Wahrscheinlichkeit auf ein Achtel, kostet aber nur ein Viertel des Wachstums. MacLean u. a. (2010) fassen gute und schlechte Eigenschaften zusammen: höchstes langfristiges Wachstum, aber große Schwankungen und eine lange Zeit, bis der Vorsprung sicher ist.
„it maximizes the limiting exponential growth rate of wealth“Eine zweite Begründung für Bruchteil-Kelly (Fractional Kelly): Die Eingaben sind unsicher. Wer die Überrendite überschätzt, landet automatisch bei einem Vielfachen des wahren Kelly-Einsatzes und damit im steilen Teil der Kurve. Ein halber oder viertel Kelly ist so gesehen eine Versicherung gegen Schätzfehler.
Was die Forschung dazu sagt
Das Kriterium ist seit Jahrzehnten umstritten. Befürworter betonen, dass eine Kelly-Strategie auf lange Sicht fast sicher mehr Vermögen erreicht als jede wesentlich andere Strategie. Samuelson (1971) widersprach scharf: Daraus folge nicht, dass die Maximierung des geometrischen Mittels für einen endlichen Zeitraum optimal ist. Ob sie es ist, hängt von der Risikoneigung ab. Nur für logarithmischen Nutzen fällt das Optimum auf den Kelly-Einsatz.
Thorp (2006) beschreibt die Anwendung in Blackjack, Sportwetten und am Aktienmarkt und empfiehlt aus der Praxis Bruchteile des Kelly-Einsatzes. Merton (1969) zeigt für die stetige Zeit, dass die optimale Aktienquote eines Anlegers mit konstanter relativer Risikoaversion γ gleich (μ − r) / (γ σ²) ist. Kelly entspricht γ = 1, halber Kelly γ = 2.
Grenzen und typische Fehler
- Eingaben sind unbekannt: Bei Münzwürfen kennt man p, bei Aktien nicht. Die erwartete Überrendite lässt sich aus der Vergangenheit nur sehr ungenau schätzen; Fehler wirken sich im Kelly-Einsatz quadratisch aus.
- Hebel ist teuer und begrenzt: Ein Kelly-Anteil von 154 % setzt Kredit zum sicheren Zins voraus. Höhere Kreditzinsen, Margin-Anforderungen und Zwangsverkäufe nach Verlusten ändern die Rechnung.
- Fat Tails: Die Formel in stetiger Zeit unterstellt normalverteilte Renditen. Seltene, sehr große Verluste (Schiefe und Kurtosis) machen den vollen Einsatz noch gefährlicher.
- Horizont und Ziele: Kelly optimiert für unendlich lange. Wer in zehn Jahren ein bestimmtes Vermögen braucht oder Entnahmen plant, hat andere Ziele als maximales Wachstum.
- Kein Freibrief für Konzentration: Ein hohes f* für eine Einzelaktie beruht fast immer auf zu optimistischen Annahmen über ihre Rendite.
Was Kelly für Privatanleger bedeutet
Die wichtigste Lehre ist nicht die genaue Formel, sondern die Form der Wachstumskurve: Mehr Risiko bringt nur bis zu einem Punkt mehr Wachstum, danach weniger. Das ist derselbe Effekt wie der Volatility Drag. Ein Portfolio, das sehr stark schwankt, wächst langsamer, als seine durchschnittliche Rendite verspricht. Für die meisten Anleger liegt die sinnvolle Aktienquote weit unter dem vollen Kelly-Anteil, weil sie tiefe Zwischenverluste nicht durchhalten würden.
Ein Rechenweg für das eigene Portfolio
- Schätze die Überrendite deines Portfolios über dem Geldmarkt vorsichtig, etwa aus langen Zeitreihen oder Bewertungsmodellen, nicht aus den letzten fünf guten Jahren.
- Schätze die Volatilität, zum Beispiel aus Monatsrenditen über zehn oder mehr Jahre.
- Berechne f* = Überrendite / Volatilität² und nimm davon höchstens die Hälfte.
- Prüfe das Ergebnis gegen deine Verlusttoleranz: Wie tief darf das Depot fallen, ohne dass du verkaufst? Die kleinere der beiden Zahlen gewinnt.
Für ein breites Aktienportfolio landet man so oft bei Quoten um oder über 100 %; die Verlusttoleranz ist dann die eigentliche Grenze. Das Kelly-Kriterium erklärt vor allem, warum mehr Risiko ab einem Punkt nichts mehr bringt.
So rechnet Portfolio Lab
Portfolio Lab berechnet keinen Kelly-Anteil. Was du nutzen kannst: Die Monte-Carlo-Simulation zeigt für ein Portfolio die Bandbreite der Vermögenspfade und die Wachstumsrate (CAGR) jedes Pfads. Vergleiche damit Portfolios mit unterschiedlicher Aktienquote. Mit eigenen Annahmen rechnet sie parametrisch: Die eingegebene Rendite ist das arithmetische Mittel, das typische Wachstum liegt um etwa die halbe Varianz darunter. In der Taktik skaliert das Modell „Zielvolatilität“ ein Portfolio auf ein festes Risiko, mit einer Investitionsquote von bis zu 200 %. Details in der Methodik der Monte-Carlo-Simulation.
Frequently asked questions
Was sagt das Kelly-Kriterium aus?
Es nennt den Anteil des Vermögens, den man setzen sollte, damit das Vermögen auf lange Sicht am schnellsten wächst. Bei einer einfachen Wette ist das f* = p − q / b.
Warum setzen Profis nur halben Kelly?
Der halbe Einsatz bringt rund drei Viertel des Wachstums, senkt aber die Wahrscheinlichkeit, irgendwann die Hälfte zu verlieren, von 50 % auf 12,5 %. Außerdem schützt er vor zu optimistischen Annahmen.
Kann man Kelly auf Aktien anwenden?
In der stetigen Näherung ist f* = (μ − r) / σ². Weil μ sehr unsicher ist, dient die Formel eher als Obergrenze und Denkmodell als als genaue Anweisung.
Was passiert, wenn man mehr als Kelly setzt?
Das Wachstum sinkt, obwohl das Risiko steigt. Ab etwa dem doppelten Kelly-Einsatz schrumpft das Vermögen auf lange Sicht.
Wie hängen Kelly und Sharpe Ratio zusammen?
Das maximal erreichbare Zusatzwachstum über dem Zins ist die halbe quadrierte Sharpe Ratio. Eine Anlage mit Sharpe Ratio 0,4 erlaubt also höchstens 8 % Zusatzwachstum, und zwar mit dem dafür nötigen, oft hohen Hebel.
Ist Kelly dasselbe wie die Maximierung des geometrischen Mittels?
Ja: Kelly maximiert den Erwartungswert des Logarithmus des Vermögens, also die geometrische Wachstumsrate.
Literature
- Kelly, J. L. (1956): A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal 35 (4), pp. 917–926. doi:10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x
- MacLean, Leonard C.; Thorp, Edward O.; Ziemba, William T. (2010): Long-term capital growth: the good and bad properties of the Kelly and fractional Kelly capital growth criteria. Quantitative Finance 10 (7), pp. 681–687. doi:10.1080/14697688.2010.506108
- Merton, Robert C. (1969): Lifetime Portfolio Selection under Uncertainty: The Continuous-Time Case. The Review of Economics and Statistics 51 (3). doi:10.2307/1926560
- Samuelson, Paul A. (1971): The “Fallacy” of Maximizing the Geometric Mean in Long Sequences of Investing or Gambling. Proceedings of the National Academy of Sciences 68 (10), pp. 2493–2496. doi:10.1073/pnas.68.10.2493
- Thorp, Edward O. (2006): The Kelly Criterion in Blackjack Sports Betting, and the Stock Market. Elsevier/North-Holland (Zenios und Ziemba, Hrsg.: Handbook of Asset and Liability Management, Bd. 1). doi:10.1016/s1872-0978(06)01009-x
This article explains a method; it is not investment or tax advice. Worked examples are simplified and rounded. All terms in the glossary.