Jenseits von Markowitz: Schätzfehler, Rauschen und echte Diversifikation

Advanced12 min read · updated 27 October 2026 · 29 sources

Die Markowitz-Kritik ist fast so alt wie die moderne Portfoliotheorie selbst: Die Mathematik der Mittelwert-Varianz-Optimierung stimmt, aber ihre Zutaten (erwartete Renditen, Volatilitäten und Korrelationen) sind geschätzt und verrauscht. Dieser Artikel ordnet die wichtigsten Einwände und Weiterentwicklungen: Schätzfehler und instabile Gewichte, Rauschen in Korrelationsmatrizen aus Sicht der Zufallsmatrixtheorie, Maße für die echte Zahl unabhängiger Risiken, die stochastische Portfoliotheorie mit Streuung als Wachstumsquelle und neuere Ansätze mit Pfad-Signaturen, jeweils mit dem, was außerhalb der Stichprobe tatsächlich belegt ist.

Was Markowitz verspricht und wo es hakt

Markowitz (1952) hat gezeigt, dass es für ein Portfolio nicht nur auf die einzelnen Anlagen ankommt, sondern auf ihr Zusammenspiel: Über die Kovarianzen entsteht eine Effizienzlinie der Portfolios, die für ein gegebenes Risiko die höchste erwartete Rendite bieten. Das Portfolio mit der höchsten Sharpe Ratio hat eine geschlossene Form: Die Gewichte sind proportional zur inversen Kovarianzmatrix mal den erwarteten Überrenditen.

Genau diese Inverse ist die Schwachstelle. Sie verstärkt kleine Unterschiede zwischen ähnlichen Anlagen: Je höher zwei Anlagen korrelieren, desto größer werden die Ausschläge der Gewichte, wenn sich eine Schätzung leicht verschiebt. Und die erwarteten Renditen, auf die die Formel am stärksten reagiert, sind gerade die Größe, die sich aus Kursdaten am schlechtesten schätzen lässt.

Schätzfehler: warum optimierte Portfolios enttäuschen

Das Beispiel zeigt im Kleinen, was die Forschung im Großen gefunden hat. Michaud (1989) nannte den Optimierer deshalb einen Fehlermaximierer: Er gewichtet gerade die Anlagen über, deren Renditen zufällig zu hoch und deren Risiken zufällig zu niedrig geschätzt sind. Best und Grauer (1991) zeigten, wie empfindlich optimale Gewichte schon auf kleine Änderungen der erwarteten Renditen reagieren, und laut Chopra und Ziemba (1993) verzerren Fehler in den erwarteten Renditen das Ergebnis um ein Vielfaches stärker als Fehler in Varianzen und Kovarianzen.

Den bekanntesten Härtetest lieferten DeMiguel u. a. (2009): Sie verglichen 14 Optimierungsmodelle mit der einfachen Gleichgewichtung 1/N in sieben Datensätzen, und keines war außerhalb der Stichprobe durchgängig besser, gemessen an Sharpe Ratio, Sicherheitsäquivalent und Umschlag. Mynbayeva u. a. (2022) gehen der Frage nach, warum schon der Schätzfehler allein die Portfolioauswahl nach Markowitz scheitern lässt und was dagegen helfen könnte. Ein Teil der Antwort ist alt: Laut Jagannathan und Ma (2003) wirken Gewichtsgrenzen wie das Verbot von Leerverkäufen ähnlich wie eine Schrumpfung der Kovarianzmatrix und senken so das Risiko, auch wenn die Grenzen ökonomisch eigentlich falsch sind.

Rauschen in der Korrelationsmatrix: Zufallsmatrixtheorie

Selbst wenn man die erwarteten Renditen ganz weglässt und nur mit Risiken rechnet, bleibt ein zweites Problem: Eine Korrelationsmatrix für N Anlagen hat N × (N − 1) / 2 Einträge, geschätzt aus T Beobachtungen. Bei 50 Aktien sind das 1.225 Korrelationen. Die Random Matrix Theory (Zufallsmatrixtheorie) beantwortet, wie eine Korrelationsmatrix aussieht, wenn in Wahrheit gar keine Korrelation besteht und alles nur Zufall ist. Für viele unabhängige Reihen liegen die Eigenwerte der geschätzten Korrelationsmatrix dann in einem Band, das nur vom Verhältnis q = N/T abhängt. Es ist benannt nach Marchenko und Pastur (1967).

Laloux u. a. (1999) verglichen diese Vorhersage mit den Korrelationen der Aktien im S&P 500 und anderen großen Märkten und fanden eine bemerkenswerte Übereinstimmung: Der größte Teil des Spektrums sah aus wie Zufall. Plerou u. a. (1999) kamen für die 1.000 größten US-Aktien zum gleichen Bild: Die meisten Eigenwerte folgen der Theorie, nur einige der größten weichen ab und tragen echte Information, allen voran der gemeinsame Marktfaktor.

Daraus folgen zwei Strategien. Die erste ist Shrinkage: Ledoit und Wolf (2004) schrumpfen die geschätzte Kovarianzmatrix zu einer einfachen Zielmatrix hin, Ledoit und Wolf (2004) liefern die optimale Schrumpfintensität für große Dimensionen (mehr dazu im Artikel Kovarianzschätzung). Die zweite ist das gezielte Bereinigen des Spektrums: Eigenwerte im Rauschband werden ersetzt oder geglättet, die wenigen darüber bleiben. Bun u. a. (2017) geben dazu einen umfassenden Überblick; in ihren Anwendungen auf Finanzmarktdaten schnitten sogenannte rotationsinvariante Schätzer besser ab als alle früher vorgeschlagenen Verfahren.

Wie viele Wetten stecken wirklich im Portfolio?

Diversifikation wird gern an der Zahl der Positionen gemessen. Ehrlicher ist die Frage, wie viele voneinander unabhängige Risiken ein Portfolio eingeht. Dafür gibt es mehrere Maße, die unterschiedliche Dinge zählen.

• Effektive Zahl der Gewichte 1 / Σwᵢ²: der Kehrwert des Herfindahl-Index. Er zählt Kapital, keine Risiken.
• Diversifikationsquote Σwᵢσᵢ / σ_p nach Choueifaty und Coignard (2008): Wie stark gleichen sich die Schwankungen aus? 1 heißt gar nicht.
• Effektive Zahl der Wetten nach Meucci (2009): Das Portfolio wird in unkorrelierte Hauptkomponenten zerlegt; aus den Anteilen pₖ, die jede zur Varianz beiträgt, wird exp(−Σ pₖ ln pₖ). Das ergibt 1 bei einem einzigen Risiko und N bei N gleich großen.
• Minimum-Torsion-Wetten nach Meucci u. a. (2013): Statt abstrakter Hauptkomponenten werden unkorrelierte Faktoren gesucht, die den einzelnen Positionen so ähnlich wie möglich bleiben. Ihre Varianzanteile sind eindeutig, nie negativ und je Position deutbar.
• Absorption Ratio nach Kritzman u. a. (2011): der Anteil der Gesamtvarianz, den die ersten Hauptkomponenten aufnehmen. Steigt er, bewegen sich die Anlagen enger zusammen.

Die Maße widersprechen sich nicht, sie beantworten verschiedene Fragen. Bei 25 % Aktien und 75 % Anleihen tragen beide Seiten gleich viel zum Risiko bei (0,25 × 15 % = 0,75 × 5 %); die Minimum-Torsion-Zählung ergibt dann genau 2, während die Hauptkomponenten bei einer Korrelation von 0,5 nur 1,67 Wetten zählen, weil die erste Hauptkomponente der Kovarianz vor allem die schwankungsstarke Anlage abbildet. Hauptkomponenten haben eine zweite Schwäche: Liegen zwei Eigenwerte nahe beieinander, ist die Richtung der Komponenten kaum bestimmt und die Zählung springt.

Barkhagen u. a. (2023) gehen noch einen Schritt weiter: Ihre Portfolio-Dimensionalität verbindet Diversifikation mit der Nicht-Normalität der Portfoliorenditen und wird über Quotienten homogener Risikomaße definiert, sodass Hebel das Maß nicht verändert. Sie zu maximieren ist ein nicht konvexes Problem, für das die Autoren zwei globale Optimierungsverfahren entwickeln.

Stochastische Portfoliotheorie: Streuung als Wachstumsquelle

Markowitz denkt in einer Periode und in arithmetischen Renditen. Wer über viele Jahre anlegt, interessiert sich für die Wachstumsrate des Vermögens, also die geometrische Rendite. Die stochastische Portfoliotheorie von Fernholz und Shay (1982) und Fernholz (2002) zeigt, dass Streuung hier mehr leistet als Risikosenkung: Die Wachstumsrate eines regelmäßig auf feste Gewichte zurückgesetzten Portfolios liegt über dem gewichteten Mittel der Wachstumsraten seiner Positionen. Den Abstand nennt Fernholz Excess Growth Rate.

Empirisch kennt man denselben Effekt als Diversifikationsertrag: Booth und Fama (1992) zeigten, dass die geometrische Rendite eines Portfolios über dem Durchschnitt der geometrischen Einzelrenditen liegt, und Willenbrock (2011) betont, dass er erst durch Rebalancing entsteht (siehe Rebalancing-Bonus). Ein sicherer Mehrertrag ist das nicht: Die Wachstumsraten der Positionen selbst bleiben unsicher, und laufen Anlagen lange auseinander, kann Zurücksetzen auch schaden.

Die Theorie hat eine elegante Geometrie. Pal und Wong (2016) beweisen, dass unter Diversität und ausreichender Volatilität des Marktes nur die von Fernholz eingeführten funktional erzeugten Portfolios das Marktportfolio auf lange Sicht verlässlich schlagen und dass sich diese Portfolios auch als Lösung eines Problems des optimalen Transports beschreiben lassen.

Pfad-Signaturen und modellfreie Portfoliotheorie

Neuere Arbeiten verzichten ganz auf ein Wahrscheinlichkeitsmodell. Die Pfad-Signatur fasst einen Kursverlauf als Folge iterierter Integrale zusammen und hält fest, in welcher Reihenfolge sich mehrere Größen bewegt haben. Das sieht eine Korrelation nicht. Allan u. a. (2023) begründen die stochastische Portfoliotheorie pfadweise über raue Pfade und zeigen, dass eine Verallgemeinerung von Covers universellem Portfolio asymptotisch so schnell wächst wie das beste im Nachhinein gewählte Portfolio seiner Klasse.

Cuchiero und Möller (2025) bauen daraus Signatur-Portfolios: Sie können jede stetige, auch pfadabhängige Portfoliofunktion der Marktgewichte annähern, und Optimierungen wie die des logarithmischen Vermögens werden zu konvexen quadratischen Problemen. Auf den betrachteten Indexdaten schnitten sie außerhalb der Stichprobe besser ab, auch nach Transaktionskosten. Gregnanin u. a. (2024) ersetzen in der Optimierung die Korrelationsmatrix durch eine Ähnlichkeitsmatrix aus Signaturen und fanden für den S&P 500 höhere kumulierte Log-Renditen und Sharpe Ratios als mit Pearson-Korrelationen. Beides sind Tests der Autoren auf wenigen Datensätzen: vielversprechend, aber noch keine breit bestätigte Evidenz.

Was außerhalb der Stichprobe belegt ist

López de Prado (2016) zeigt in Monte-Carlo-Experimenten, dass Hierarchical Risk Parity außerhalb der Stichprobe eine geringere Varianz erreicht als der Critical-Line-Algorithmus von Markowitz. Ob das in echten Portfolios gegenüber geschrumpften Kovarianzmatrizen oder schlichten Gewichtungen trägt, hängt vom Datensatz ab; ein allgemeiner Sieger ist nicht belegt (siehe Hierarchical Risk Parity). Beim Resampling kamen Markowitz und Usmen (2003) in ihrem Spiel zu einem Sieg des Resampling über ein Bayes-Verfahren mit diffusem Vorwissen, Harvey u. a. (2008) kehrten das Ergebnis mit einem üblichen Bayes-Verfahren um (siehe Resampling-Optimierung).

Grenzen und typische Fehler

• Mehr Positionen sind nicht mehr Wetten: Zehn Aktienfonds verschiedener Anbieter sind oft eine einzige Wette auf den Aktienmarkt.
• Die Rauschgrenze ist eine Faustregel: Das Band von Marchenko und Pastur gilt streng für viele unabhängige, gleich verteilte Reihen. Bei wenigen Anlagen, dicken Rändern und schwankender Volatilität ist es nur ein Anhaltspunkt.
• Korrelationen sind nicht stabil: In Krisen steigen sie oft gleichzeitig. Ein Maß aus ruhigen Jahren überschätzt dann die Streuung, wenn sie am meisten gebraucht wird.
• Monats- oder Tagesdaten: Tagesrenditen liefern mehr Beobachtungen und senken q, sind aber bei Börsen in verschiedenen Zeitzonen zeitlich versetzt und unterschätzen dann die Korrelation.
• Mehr Dimensionen heißen nicht mehr Rendite: Diversifikation senkt Risiko und erhöht die Wachstumsrate nur relativ zum Mittel der Positionen, sie macht aus schwachen Anlagen keine guten.

So rechnet Portfolio Lab

In der Optimierung kannst du die Kovarianz als Stichprobe oder mit Ledoit-Wolf-Shrinkage auf ein skaliertes Einheitsziel schätzen, die Diversifikationsquote mit dem Ziel „Max. Diversifikation“ maximieren, gleiche Risikobeiträge (Risk Parity) oder minimale Varianz anstreben und die Effizienzlinie per Resampling nach Michaud über standardmäßig 300 simulierte Datensätze mitteln. Die Seite Risiko zerlegt die Volatilität jedes Portfolios nach Euler in Risikobeiträge und zeigt die Diversifikationsquote, wahlweise mit Stichprobe, EWMA oder Ledoit-Wolf. Unter Assets findest du die Hauptkomponenten der gewählten Anlagen mit den Varianzanteilen, ab sechs Anlagen der Absorption Ratio der ersten ⌈N/5⌉ Komponenten und der Zahl effektiver Risikoquellen aus der Entropie dieser Anteile (dort ohne Portfoliogewichte, wahlweise aus standardisierten Renditen). Alle Werkzeuge rechnen mit historischen Renditen; die Grenzen oben gelten für sie genauso.

This article explains a method; it is not investment or tax advice. Worked examples are simplified and rounded. All terms in the glossary.