Regime-Modelle: Hidden Markov, Markov-Switching und Co.

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Regime-Modelle gehen davon aus, dass Märkte zwischen wenigen Zuständen wechseln (etwa ruhigen Aufwärtsphasen und unruhigen Krisen), in denen Rendite, Volatilität und Korrelationen jeweils anders sind. Das bekannteste Werkzeug ist das Hidden-Markov-Modell: Der Zustand ist nicht direkt sichtbar und wird aus den Renditen geschätzt. Hier erfährst du, wie die Modelle rechnen, was die Forschung für die Allokation zeigt und warum ein Regime oft erst im Nachhinein sicher zu erkennen ist.

Die Idee: Märkte mit mehreren Gesichtern

Ein einziges Mittel und eine einzige Volatilität beschreiben lange Kursreihen schlecht. Jahre mit ruhig steigenden Kursen wechseln mit kurzen, heftigen Krisen, in denen die Schwankung sprunghaft steigt und Aktien enger zusammenlaufen (asymmetrische Korrelation). Ang und Timmermann (2012) fassen die Forschung so zusammen: Regimewechselmodelle bilden ab, dass Märkte ihr Verhalten oft abrupt ändern und das neue Verhalten dann mehrere Perioden anhält. Mittelwerte, Volatilitäten, Autokorrelationen und Kovarianzen unterscheiden sich je Regime. Deshalb erklären solche Modelle Fat Tails, Volatilitäts-Clustering, Schiefe und schwankende Korrelationen.

Es gibt drei Familien. Statistisch geschätzte Zustände wie im Hidden-Markov-Modell oder in der Markov-Switching-Regression; Schwellen- und Bruchmodelle, bei denen eine beobachtete Größe oder ein Zeitpunkt den Wechsel auslöst; und regelbasierte Regime aus Makrodaten oder Marktindikatoren, etwa Rezession ja oder nein.

Das Hidden-Markov-Modell

Ein Hidden-Markov-Modell (HMM) hat drei Bausteine. Erstens Zustände S_t, die einer Markov-Kette folgen: Der Zustand von morgen hängt nur vom heutigen ab. Zweitens die Übergangsmatrix mit den Wahrscheinlichkeiten, von Zustand i in Zustand j zu wechseln. Drittens die Emissionsverteilungen: je Zustand eine Verteilung der beobachteten Rendite, meist eine Normalverteilung mit eigenem Mittel und eigener Volatilität. Beobachtet wird nur die Rendite, der Zustand bleibt verborgen. Rabiner (1989) beschreibt die drei Grundaufgaben: die Wahrscheinlichkeit der Daten berechnen, die wahrscheinlichste Zustandsfolge finden und die Parameter schätzen.

Schätzen mit Baum-Welch und EM

Die Parameter schätzt man meist mit dem Verfahren von Baum u. a. (1970), heute Baum-Welch-Algorithmus genannt, einem Spezialfall des EM-Algorithmus von Dempster u. a. (1977). Im E-Schritt berechnet der Forward-Backward-Algorithmus mit den aktuellen Parametern, wie wahrscheinlich jeder Zustand zu jedem Zeitpunkt war. Im M-Schritt werden Mittel, Volatilitäten und Übergangshäufigkeiten mit diesen Wahrscheinlichkeiten gewichtet neu geschätzt. Das wiederholt sich, bis die Likelihood kaum noch steigt. EM findet nur ein lokales Maximum. Seriöse Anwendungen starten deshalb von vielen Startwerten.

Viterbi, Filter und Glättung: die Look-ahead-Falle

Der Algorithmus von Viterbi (1967) findet mit dynamischer Programmierung die eine Zustandsfolge mit der höchsten gemeinsamen Wahrscheinlichkeit. Er nutzt dafür die ganze Stichprobe. Ebenso die Glättungswahrscheinlichkeit P(S_t = k | alle Daten bis T), für Markov-Switching-Modelle von Kim (1994) beschrieben. Nur die Filterwahrscheinlichkeit P(S_t = k | Daten bis t) verwendet ausschließlich, was zum Zeitpunkt t bekannt war (Filter- und Glättungswahrscheinlichkeit).

Grafiken mit farbigen Krisenphasen zeigen meist Viterbi-Pfade oder geglättete Wahrscheinlichkeiten. Dort beginnt die Krise oft genau am Hochpunkt, weil das Modell den Absturz danach schon kennt. Wer daraus eine Handelsregel ableitet, hat einen Look-ahead-Bias. Eine zweite Quelle kommt hinzu, wenn die Parameter mit der ganzen Historie geschätzt werden. Ehrlich getestet wird nur mit rollierend geschätzten Parametern, Filterwahrscheinlichkeiten und einer Umsetzung erst nach dem Signal.

Zahlenbeispiel: zwei Regime nachgerechnet

Markov-Switching-Regression nach Hamilton

Hamilton (1989) modellierte das Wachstum des US-Bruttosozialprodukts mit gelegentlichen, diskreten Wechseln der Wachstumsrate, gesteuert von einer Markov-Kette. Er gab Algorithmen an, mit denen sich die unbeobachteten Wechsel erschließen und die Parameter per Maximum Likelihood schätzen lassen. Der Wechsel von positivem zu negativem Wachstum erwies sich als wiederkehrendes Merkmal des US-Konjunkturzyklus und könnte als objektives Kriterium für Rezessionen dienen; eine typische Rezession ging mit einem dauerhaft um etwa 3 % niedrigeren Niveau des Bruttosozialprodukts einher.

Allgemein lässt eine Markov-Switching-Regression jeden Teil einer Regression je Regime wechseln: Konstante, Steigungen, Autoregression und Varianz. Das HMM für Renditen ist der Spezialfall ohne erklärende Variablen. Die Lehrbuchdarstellung samt Filter steht bei Hamilton (1994).

Schwellenmodelle und Strukturbrüche

Im Schwellenmodell (TAR) von Tong und Lim (1980) wechselt das Regime nicht zufällig, sondern sobald eine beobachtete Größe eine Schwelle überschreitet. Ist diese Größe die eigene verzögerte Reihe, spricht man von SETAR (self-exciting). So kann eine Zinsdifferenz nahe ihrem Mittel wie ein Random Walk wandern und erst jenseits einer Schwelle zurückkehren. Der Vorteil: Das Regime ist beobachtbar, sobald die Schwelle bekannt ist. Der Haken: Auch die Schwelle wird geschätzt, meist aus derselben Stichprobe.

Ein Strukturbruch ist ein Wechsel, der nicht zurückkehrt: neue Geldpolitik, ein neues Währungsregime, eine andere Marktstruktur. Bai und Perron (1998) entwickelten die Theorie, mehrere Bruchpunkte in Regressionen zu schätzen und zu testen, einschließlich der Frage, wie viele Brüche es gibt. Für Anleger ist der Unterschied wichtig: Wiederkehrende Regime lassen sich aus der Geschichte lernen, ein Bruch macht die Geschichte davor teilweise wertlos.

Regelbasierte Regime und Clustering

Viele Praktiker legen Regime direkt nach Regeln fest: Rezession ja oder nein, Phasen der Konjunkturuhr, Quadranten aus steigendem oder fallendem Wachstum und steigender oder fallender Inflation (Wachstum-Inflation-Regime, Stagflation), Volatilitätsregime nach dem Niveau des VIX oder eine inverse Zinskurve. Solche Regeln sind durchsichtig und kommen ohne Schätzung aus. Ihre Schwellen sind aber gesetzt, und Makrodaten erscheinen verspätet und werden revidiert; Croushore und Stark (2001) zeigen, wie stark Ergebnisse davon abhängen.

Clustering sucht Gruppen ähnlicher Beobachtungen, etwa Monate mit ähnlicher Rendite, Volatilität und Korrelation. k-means nach Lloyd (1982) ordnet jeden Monat dem nächsten von k Zentren zu und berechnet die Zentren neu, bis sich nichts mehr ändert. Ein Gaussian Mixture Model ordnet weich zu, mit Wahrscheinlichkeiten, und wird ebenfalls per EM geschätzt. Beide ignorieren die Reihenfolge der Monate. Ein HMM ist in diesem Sinn eine Gaussian Mixture mit Markov-Kette. Ohne diese Zeitstruktur springen Cluster oft von Monat zu Monat hin und her.

Für Fortgeschrittene: Zustände, Parameter, Schätzfehler

• Zahl der Zustände: Jeder weitere Zustand erhöht die Likelihood. Informationskriterien wie das AIC nach Akaike (1974) und das BIC nach Schwarz (1978) bestrafen die zusätzlichen Parameter. Der übliche Likelihood-Quotiententest gilt hier nicht, weil die Parameter des zweiten Zustands unter der Nullhypothese mit nur einem Zustand gar nicht bestimmt sind.
• Parameter wachsen schnell: Ein HMM mit K normalverteilten Zuständen für eine Rendite hat K² − K Übergangs-, 2K Verteilungs- und K − 1 Startparameter: 7 bei zwei, 14 bei drei, 23 bei vier Zuständen. Für fünf Anlagen mit voller Kovarianzmatrix sind es bei drei Zuständen schon 68.
• Seltene Regime, unsichere Dauer: Wer in 25 Krisenmonaten fünf Wechsel zurück in ruhige Zeiten beobachtet, schätzt p₂₂ = 1 − 5 / 25 = 0,80. Mit einem Standardfehler von etwa 0,08 liegt die erwartete Dauer zwischen 3,6 und 8,3 Monaten, wenn man nur einen Standardfehler nach unten und oben geht.
• Instabilität: Neue Daten verändern frühere geglättete Regime, und beim Neuschätzen können Zustände die Plätze tauschen (Label Switching). Manche Lösungen sind entartet, etwa ein Zustand, der nur einen einzigen Ausreißer erklärt.
• Zeitlich veränderliche Parameter: Nystrup u. a. (2015) lassen die Parameter selbst langsam wandern, damit das Modell sich an neue Marktphasen anpasst, ohne für jede einen eigenen Zustand zu brauchen.

Was die Forschung zeigt

• Internationale Allokation: Ang und Bekaert (2002) modellieren die Chancen eines US-Anlegers mit Regimen, in denen Korrelationen und Volatilitäten in schlechten Zeiten steigen. Internationale Streuung bleibt trotzdem wertvoll, Währungsabsicherung bringt zusätzlich Nutzen. Die Kosten, Regime zu ignorieren, sind für reine Aktienportfolios klein, steigen aber, wenn eine bedingt risikofreie Anlage gehalten werden kann.
• Aktien und Anleihen: Guidolin und Timmermann (2007) brauchen vier Regime (Crash, langsames Wachstum, Bullenmarkt, Erholung), um Aktien- und Anleiherenditen gemeinsam abzubilden. Die optimalen Gewichte unterscheiden sich stark je Zustand: Im Crash-Zustand steigt der Aktienanteil eines Anlegers, der kauft und hält, mit dem Anlagehorizont, im Bullenmarkt sinkt er. Regime zu ignorieren kostet viel, und Prognosen außerhalb der Stichprobe stützen den praktischen Wert.
• Dynamische Strategien: Kritzman u. a. (2012) schätzen Markov-Switching-Modelle für Marktturbulenz, Inflation und Wachstum. Eine dynamische Allokation danach schlug im Backtest die statische, vor allem für Anleger, die große Verluste vermeiden wollen.
• Daten sprechen lassen: Nystrup u. a. (2015) zeigen mit einem Weltaktien- und einem Weltstaatsanleihenindex, dass ein statisches Portfolio auch ohne jede Prognosefähigkeit nicht optimal sein muss. Nystrup u. a. (2018) kombinieren HMM-Prognosen für Mittel und Varianz mit modellprädiktiver Regelung (Model Predictive Control) und erzielen in mehreren großen Aktienindizes eine höhere Rendite bei deutlich niedrigerem Risiko als Kaufen und Halten. Das gilt nach Transaktionskosten, mit einem Tag Verzögerung und mit unverzinster Kasse als einziger Alternative. Ein Strafterm für häufiges Handeln machte das Verfahren robuster.

Zur Einordnung: Die günstigen Ergebnisse stammen überwiegend aus Backtests der Autoren selbst. Zahl der Zustände, Datenfrequenz und Zeitraum wurden in Kenntnis der Geschichte gewählt. Belege für den Erfolg solcher Modelle in Echtzeit über viele Jahre sind nach unserer Einschätzung selten. Mehr dazu unter Backtest-Overfitting.

Grenzen und typische Fehler

• Erkennung im Nachhinein: Ein Regime wird erst nach einigen Beobachtungen wahrscheinlich, wie das Zahlenbeispiel zeigt. Wenn es feststeht, ist ein Teil des Verlusts oft schon eingetreten. Das ist dasselbe Problem wie bei Trendfolge und Market Timing.
• Look-ahead: Geglättete Wahrscheinlichkeiten, Viterbi-Pfade, mit der ganzen Historie geschätzte Parameter und revidierte Makrodaten verraten die Zukunft.
• Overfitting: Zahl der Zustände, Datenfrequenz, Anlagen und Schätzfenster sind Stellschrauben. Wer viele Kombinationen probiert, findet immer ein Modell, das die Finanzkrise elegant vorhersagt.
• Wenige Krisen: Eine Handvoll Wechsel reicht nicht, um Übergangswahrscheinlichkeiten genau zu schätzen.
• Volatilität ja, Rendite kaum: Unruhige Regime lassen sich über die Schwankung recht gut erkennen. Ob sie auch eine niedrigere erwartete Rendite haben, ist viel schwerer zu belegen (siehe Prognosemodelle).

Dieser Artikel erklärt Methoden und ist keine Anlageberatung.

So rechnet Portfolio Lab

Ein geschätztes Hidden-Markov-Modell zeigt die Seite Regime. Für eine Kursreihe (einen der 30 Märkte der Seite Blasen oder ein eigenes Symbol) schätzt sie Gaußsche HMM mit einem bis vier Regimen auf Log-Renditen abgeschlossener Wochen oder Monate, per Baum-Welch-Algorithmus mit fünf Startwerten und festem Seed. Die Regime sind nach Volatilität sortiert und heißen bei zwei Regimen „Ruhig“ und „Turbulent“. Die Seite zeigt gefilterte und geglättete Wahrscheinlichkeiten, seit wann der Viterbi-Pfad im letzten Regime liegt, Mittel, Volatilität, Anteil der Zeit und erwartete Dauer je Regime, die Übergangsmatrix sowie log L, AIC und BIC je Zahl der Regime; Auto wählt das kleinste BIC unter zwei bis vier Regimen. Sie ist ein Rückblick: Parameter und geglättete Wahrscheinlichkeiten nutzen die ganze Historie. Das ist genau die Look-ahead-Falle von oben, auf die ein Hinweis der Seite aufmerksam macht.

Ohne Vorgriff rechnet das Taktik-Modell Regime (HMM) auf der Seite Taktik: Es schätzt die Parameter erstmals nach fünf Jahren Wochenrenditen (zehn Jahren bei Monatsrenditen), danach jährlich neu mit allen Daten bis dahin, und nutzt zu jedem Monatsende nur die Filterwahrscheinlichkeit des Regimes mit der höchsten Volatilität. Liegt sie über der Schwelle (voreingestellt 50 %), geht das Basisportfolio ganz ins Ausweich-Asset; wahlweise liegen 1 − P(Turbulent) im Basisportfolio. Verglichen wird mit Kaufen und Halten. Die Einzelheiten stehen in der Methodik Regime.

Die Seite Makro schätzt kein Hidden-Markov- oder Markov-Switching-Modell, sondern teilt jeden Monat nach festen Regeln ein, für Euroraum, Deutschland und die USA. Es gibt sechs Arten: Rezession (USA nach der offiziellen Datierung, Euroraum und Deutschland ab zwei Quartalen in Folge mit sinkendem realem BIP), Konjunkturuhr (Indikator über drei Monate geglättet, über oder unter dem neutralen Wert und steigend oder fallend gegenüber drei Monaten zuvor: Erholung, Expansion, Abschwächung, Abschwung), Inflation in vier Bändern (unter 0 %, 0–2 %, 2–4 %, über 4 %), Zinsphasen (Geldmarktzins gegenüber sechs Monaten zuvor mit einer Schwelle von ±0,25 Prozentpunkten), Zinskurve (invers unter 0, flach unter 0,5 Prozentpunkten, sonst normal) und Wachstum und Inflation in vier Quadranten: Goldilocks, Reflation, Stagflation, Abkühlung.

Die Regime-Analyse zeigt für deine Portfolios je Zustand die Zahl der Monate, den Anteil der Zeit, die Rendite p. a. als geometrisches Mittel, die Volatilität, den Anteil positiver Monate und den schlechtesten Monat. Die Regime sind mit den heute vorliegenden Daten im Nachhinein bestimmt, einschließlich späterer Revisionen. Mit der Einstellung Verzögerung von 0 bis 24 Monaten gilt ein Regime erst so viele Monate später. Das bildet die Veröffentlichung nach, nicht die Revisionen (Methodik Makro).

Ein regelbasiertes Volatilitätsregime liefert das Volatilitäts-Barometer im Volatilitäts-Dashboard: das Mittel der Perzentil-Ränge von sieben Bausteinen über drei Jahre, eingeteilt in fünf Zonen von „sehr ruhig“ bis „Stress“ (Methodik). Geschätzte Schwellenmodelle (TAR), Tests auf Strukturbrüche und Clustering bietet Portfolio Lab nicht an. Die Regime-Analyse der Makro-Seite ist beschreibend, die Seite Regime ein Rückblick. Ein Handelssignal ohne Vorgriff liefert nur das Taktik-Modell, und auch das ist keine Anlageberatung.

This article explains a method; it is not investment or tax advice. Worked examples are simplified and rounded. All terms in the glossary.